ボンディングカーブ

トークン発行曲線の数学 — 二次、一次、仮想リザーブ CPMM バリアント — コスト / リターン / スポット価格の導出、および LaunchLab で使用される卒業閾値の数学。

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ボンディングカーブとは

ボンディングカーブ は、トークン価格を現在流通しているサプライ量（s は「売却済みサプライ」を意味する）に関連付ける決定論的な価格関数 p(s) です。買い手はコントラクトに担保を送ることで購入します。コントラクトは曲線によって定められた限界価格で新しいトークン単位を発行します。売り手はトークン単位を返し、統合された払い戻しを受け取ります。

CPMM プールと比較して 2 つの主要な特性があります：

• カウンターパーティが不要。 発行するコントラクトは市場メーカーです。流動性は決定によって存在します。
• 単調な価格。 ネット買いで上昇し、ネット売りで下落します。

ボンディングカーブは、発行元が担保で事前に AMM プールをシードしたくない場合の標準的なローンチメカニズムです。

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一般的な価格計算式

任意の連続価格関数 p(s) に対して：

スポット価格 （サプライ s での）：

p(s) = the curve formula

購入コスト （サプライ s_0 から s_1 まで、s_1 > s_0 の場合）：

cost(s_0, s_1) = ∫_{s_0}^{s_1} p(s) ds = P(s_1) − P(s_0)

ここで P(s) = ∫ p(s) ds は曲線の原始関数です。幾何学的には、cost は s_0 と s_1 の間で p の下の領域です。

売却からのリターン （サプライを s_1 から s_0 に戻す）：

proceeds(s_1, s_0) = cost(s_0, s_1)

（対称性：同じ間隔での買いと売りは同じ担保を交換します — 手数料を除く。）

購入の平均価格：

avg = cost(s_0, s_1) / (s_1 − s_0)

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一般的な曲線ファミリー

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一次曲線

p(s) = a + b · s

P(s)            = a·s + (b/2)·s²
cost(s_0, s_1)  = a·(s_1 − s_0) + (b/2)·(s_1² − s_0²)

価格はサプライに比例して上昇します。発行者が予測可能で適度なマークアップを生涯にわたって望む「安定した」ローンチに使用されます。

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二次曲線

p(s) = k · s²                      // or  k · (s / S_max)² for a normalized form

P(s)            = (k / 3) · s³
cost(s_0, s_1)  = (k / 3) · (s_1³ − s_0³)

価格は二次的に上昇します。初期の買い手はほぼゼロの価格を取得します（平坦な開始領域）。後期の買い手はより高い報酬を支払います。これは LaunchLab がデフォルトとする曲線タイプです（curve_type = 0）。

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仮想リザーブ CPMM（ポンプスタイル）

曲線は、見かけ上の初期クォートリザーブ V_q を備えた標準的な CPMM です：

effective_y = V_q + collateral_received
effective_x = S_max − s
(effective_x) · (effective_y) = V_q · S_max      // invariant

スポット価格：

p(s) = effective_y / effective_x
     = V_q · S_max / (S_max − s)² · ... (derivable via implicit differentiation)

s_0 から s_1 に移動するコスト：

cost(s_0, s_1) = V_q · S_max / (S_max − s_1) − V_q · S_max / (S_max − s_0)
              = V_q · (s_1 − s_0) · S_max / ((S_max − s_0) · (S_max − s_1))

このバリアントは、卒業時（s = S_graduate の場合）に、限界価格がリザーブ (S_max − S_graduate, V_q + cost(0, S_graduate)) でシードされた下流の CPMM プールのオープン価格に等しくなるという優雅な特性を持っています。ハンドオフはシームレスです。LaunchLab はこれを curve_type = 1 として公開しています。

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離散実装

オンチェーンでは、s と cost は両方とも整数（最小デノミネーション単位）です。連続積分 cost(s_0, s_1) は、1 つが存在するときは常に閉じた形式から直接計算されます（一次、二次）。閉じた形式の逆を持たない曲線（二次、cost が与えられた場合 s_1 を求める）では、ニュートン法が使用されます：

# Solve quadratic: (k/3)·s_1³ = (k/3)·s_0³ + cost
# Initialize with s_guess ≈ cbrt(3·cost/k + s_0³)
for i in 0..MAX_ITER:
    f    = (k/3)·s_guess³ − (k/3)·s_0³ − cost
    f'   = k·s_guess²
    step = f / f'
    s_guess -= step
    if |step| < precision_floor: break

LaunchLab は反復を約 10 回に制限し、残差がまだ許容値を超えている場合は NotConverged で戻します。実際には、これはドメインの端でのみトリガーされます。本番スワップは 2 ～ 3 回の反復で収束します。

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手数料統合

手数料は曲線コストの上に適用され、その内部ではありません。購入時：

cost_curve  = cost(base_sold, base_sold + base_out)
fee         = ceil(cost_curve · buy_numerator / buy_denominator)
quote_in    = cost_curve + fee

売却時：

proceeds_curve = cost(base_sold − base_in, base_sold)
fee            = ceil(proceeds_curve · sell_numerator / sell_denominator)
quote_out      = proceeds_curve − fee

手数料の LP 部分は quote_vault に保持され、後の買い手のために曲線をより硬くします — リザーブはサプライをさらに発行することなく成長します。プロトコルと作成者の部分は、後で掃引するための別々のカウンターで追跡されます。

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卒業閾値

曲線は、現在の曲線価格に一致する価格で外部 AMM プールをシードするのに十分な担保を受け取ったときに「卒業」します。パラメーター (k, S_max, S_graduate) を持つ二次曲線の場合：

quote_to_graduate = cost(0, S_graduate) · (1 + buy_fee_rate)
                  = (k / 3) · S_graduate³ · (1 + f_buy)

quote_vault ≥ quote_to_graduate になると、Graduate 命令は以下を含む CPMM プールを作成します：

cpmm_base_reserve  = S_max − S_graduate        // unsold curve supply
cpmm_quote_reserve = quote_vault − accrued_fee_counters
cpmm_initial_price = cpmm_quote_reserve / cpmm_base_reserve

仮想リザーブ曲線の場合、構成上：

cpmm_initial_price == p(S_graduate)           // exact equality

二次の場合、等式は近似です。「スロップ」は S_graduate のラウンディング（通常 0.8 · S_max）と最終閾値を越える買いからの余分な担保に吸収されます。

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CPMM プールと比較した無期限損失

純粋なボンディングカーブローンチは、Uniswap の意味で 無期限損失がありません：バランスを調整すべき「もう一方の側」がありません。曲線はオンデマンドでサプライを発行し、唯一の「LP」はコントラクト自体です。

卒業後、結果の CPMM プールは他の CPMM プールのような動作をします — LP が焼却されなかった場合、それらは通常の無期限損失ダイナミクスの対象となります。これが、公開ローンチ後の 焼却 ポリシーが支配的である理由です：プールを永続的に保ち、LP 引き出し駆動の価格ショックを削除します。

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実例

曲線：二次、k = 40、S_max = 1e9、S_graduate = 0.8 · S_max = 8e8。購入手数料 1%。

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s = 5e8 での価格

p(5e8) = 40 · (5e8 / 1e9)² = 40 · 0.25 = 10

ベース単位あたり 10 クォート単位。

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最初の 1e6 ベースの購入のコスト

cost(0, 1e6) = (40/3) · (1e6)³
             = (40/3) · 1e18
             ≈ 1.333e19     (smallest quote units)

1% 手数料付き：

quote_in = 1.333e19 · 1.01 ≈ 1.347e19

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卒業閾値

cost(0, 8e8) = (40/3) · (8e8)³
             = (40/3) · 5.12e26
             ≈ 6.827e27
quote_to_graduate ≈ 6.827e27 · 1.01 ≈ 6.895e27

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卒業時の価格

p(8e8) = 40 · 0.64 = 25.6

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卒業後の CPMM リザーブ

cpmm_base  = 1e9 − 8e8 = 2e8
cpmm_quote ≈ 6.827e27  (less fee-counter deductions)
cpmm_price ≈ 3.41e19 per base — which matches p(8e8) after units are accounted for

（単位：デシマルを慎重に追跡する必要があります。例は説明的です。）

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ポインター

• /ja/products/launchlab/bonding-curve — これらの計算式の LaunchLab オンチェーン実装。
• /ja/products/launchlab/instructions — Buy、Sell、Graduate のアカウント レベルの仕様。
• /ja/algorithms/constant-product — 卒業後の CPMM がリザーブで行うこと。

ソース：

• Raydium LaunchLab プログラム ソース（二次 + 仮想リザーブ曲線実装）。
• Bancor ホワイトペーパー（線形ボンディング曲線、歴史的）。
• Pump.fun パブリック ポストモーテム（仮想リザーブ バリアント）。