Matemática do CPMM

O invariante de produto constante, SwapBaseInput vs SwapBaseOutput, tratamento de transfer-fee do Token-2022 e como a conta de observação é atualizada.

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O invariante

CPMM mantém o invariante clássico de produto constante em seus dois vaults:

$$x \cdot y = k$$

onde x é o saldo do vault0 após quaisquer transfer-fees do Token-2022 no recebimento, e igualmente para y. Cada swap deve deixar k' ≥ k após contabilizar as taxas de negociação creditadas ao LP (os buckets de protocolo, fundo e criador não contam para k — ficam no vault mas são excluídos da visão da curva, veja Taxas na curva abaixo). k portanto cresce monotonicamente com o tempo conforme os LPs acumulam taxas.

As cotas LP são precificadas pelas reservas do pool, não por k:

$$\text{Preço LP em token0} = \frac{x}{\text{lpSupply}}, \qquad \text{Preço LP em token1} = \frac{y}{\text{lpSupply}}$$

Queimar ΔLP tokens LP retorna exatamente ΔLP × x / lpSupply de token0 e ΔLP × y / lpSupply de token1. Nem a curva nem k se movem em depósito ou retirada — apenas swaps mudam o preço.

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Modelo de taxa no caminho de swap

CPMM aplica duas taxas independentemente classificadas em cada swap:

• A taxa de negociação é cobrada no lado da entrada, aplicada em AmmConfig.trade_fee_rate. É então dividida em cotas LP, protocolo e fundo (a cota LP permanece no vault e aumenta k; as cotas de protocolo e fundo são extraídas da contabilidade do vault).
• A taxa de criador (ativa apenas quando enable_creator_fee == true) é cobrada em AmmConfig.creator_fee_rate. É cobrada no lado entrada ou no lado saída dependendo de PoolState.creator_fee_on e da direção do swap (veja products/cpmm/fees). É seu próprio bucket — nunca uma fatia da taxa de negociação.

Seja:

• FEE_RATE_DENOMINATOR = 1_000_000
• trade_fee_rate — de AmmConfig, ex., 2500 = 0,25% do lado de volume relevante
• creator_fee_rate — de AmmConfig, ex., 1000 = 0,10% do lado de volume relevante
• protocol_fee_rate, fund_fee_rate — denominados em unidades de 1/FEE_RATE_DENOMINATOR da taxa de negociação, não do volume

Quando a taxa de criador está no lado da entrada:

total_input_fee = ceil(amount_in * (trade_fee_rate + creator_fee_rate) / FEE_RATE_DENOMINATOR)
creator_fee     = floor(total_input_fee * creator_fee_rate / (trade_fee_rate + creator_fee_rate))
trade_fee       = total_input_fee - creator_fee
amount_in_after_fees = amount_in - total_input_fee

Quando a taxa de criador está no lado da saída:

trade_fee            = ceil(amount_in * trade_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_in_after_fees = amount_in - trade_fee
amount_out_curve     = curve_output(amount_in_after_fees, ...)
creator_fee          = ceil(amount_out_curve * creator_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_out           = amount_out_curve - creator_fee

Em ambos os casos a taxa de negociação é dividida da mesma forma:

protocol_fee   = floor(trade_fee * protocol_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
fund_fee       = floor(trade_fee * fund_fee_rate     / FEE_RATE_DENOMINATOR)
lp_fee         = trade_fee - protocol_fee - fund_fee     // creator_fee NÃO é subtraído aqui

A quantidade protocol_fee + fund_fee + creator_fee é mantida nos vaults mas rastreada separadamente no estado do pool (protocol_fees_token*, fund_fees_token*, creator_fees_token*). Quando a verificação do invariante de produto constante valida k' ≥ k, ela usa saldos do vault menos as três taxas acumuladas não processadas — então LPs capturam apenas lp_fee.

Veja products/cpmm/fees para as instruções de coleta e exemplos numéricos trabalhados.

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SwapBaseInput (entrada exata)

“O usuário nos dá exatamente amount_in do mint de entrada e recebe pelo menos minimum_amount_out do mint de saída.”

Ignorando Token-2022 por um momento:

amount_in_after_trade_fee = amount_in - trade_fee
amount_out                = y − (x * y) / (x + amount_in_after_trade_fee)

Por álgebra:

$$\text{amount\_out} = \frac{y \cdot \Delta x_{\text{net}}}{x + \Delta x_{\text{net}}}$$

onde Δx_net = amount_in_after_trade_fee.

O programa então atualiza a contabilidade do vault de forma que a parcela de trade_fee devida ao protocolo/fundo/criador fique em buckets “acumulados” (não incluídos em x da próxima curva), enquanto a cota LP se une a x para o próximo swap.

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Token-2022 no lado da entrada

Se o mint de entrada tem uma extensão de transfer-fee, o mint deduz sua taxa na transferência de usuário → vault. Assim o vault realmente recebe amount_in − transfer_fee_in(amount_in). O programa CPMM portanto calcula:

amount_actually_received = amount_in − transfer_fee_in(amount_in)
trade_fee                = ceil(amount_actually_received * trade_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_in_after_trade_fee = amount_actually_received − trade_fee

e executa a curva contra amount_in_after_trade_fee. Isto importa porque o preço da curva é computado fora da quantidade líquida que chegou ao vault, não fora da quantidade divulgada pelo usuário.

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Token-2022 no lado da saída

Se o mint de saída tem uma transfer fee, o pool envia amount_out de seu vault para o usuário. O mint então aplicará sua taxa na saída, portanto o usuário recebe amount_out − transfer_fee_out(amount_out). O programa calcula amount_out da curva como usual, mas é responsabilidade do integrador converter o número “envio do vault” do pool em um número “recebimento do usuário” ao mostrar cotações.

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Verificação de slippage

Após calcular amount_out:

require(amount_out >= minimum_amount_out, "AmountSpecifiedLessThanMinimum")

Se o mint de saída cobra uma transfer fee, o SDK aplica a transfer fee antes de definir minimum_amount_out para que a constante de slippage seja denominada em o que o usuário realmente receberá, não no que o vault envia.

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SwapBaseOutput (saída exata)

“O usuário receberá exatamente amount_out do mint de saída e está disposto a pagar até maximum_amount_in do mint de entrada.”

Invertendo a curva para Δx_net:

$$\Delta x_{\text{net}} = \left\lceil \frac{x \cdot \text{amount\_out}}{y - \text{amount\_out}} \right\rceil$$

O teto é importante — garante k' ≥ k após truncamento inteiro. Então:

// Trabalhar para trás da entrada líquida para a entrada bruta.
// fee é aplicada na entrada bruta, então:
//   net = gross − ceil(gross * rate / D)
//       ≈ gross * (D − rate) / D
// invertendo com teto nos lugares certos:
gross_needed = ceil(Δx_net * D / (D − trade_fee_rate))

Em entrada Token-2022, envolver com:

gross_needed_before_mint_fee
  = inflate_for_transfer_fee(gross_needed, input_mint)

para que o usuário pague o suficiente para que após a dedução de transfer-fee do mint o pool ainda receba gross_needed.

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Verificação de slippage

require(gross_needed_before_mint_fee <= maximum_amount_in, "AmountSpecifiedExceedsMaximum")

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Exemplo trabalhado

Estado do pool, ignorando Token-2022:

• x = 1_000_000_000_000 (1.000.000,000000 de token0, 6 decimais)
• y = 2_000_000_000_000 (2.000.000,000000 de token1, 6 decimais)
• AmmConfig: trade_fee_rate = 2500, protocol_fee_rate = 120_000, fund_fee_rate = 40_000, creator_fee_rate = 0

Usuário: SwapBaseInput com amount_in = 1_000_000_000 (1.000,000000 de token0). Taxa de criador desabilitada (enable_creator_fee = false).

trade_fee                = ceil(1_000_000_000 * 2500 / 1_000_000)       = 2_500_000
  protocol_fee           = floor(2_500_000 * 120_000 / 1_000_000)       = 300_000
  fund_fee               = floor(2_500_000 *  40_000 / 1_000_000)       = 100_000
  lp_fee                 = 2_500_000 − 300_000 − 100_000                 = 2_100_000
creator_fee              = 0                                              // desabilitada

amount_in_after_trade_fee = 1_000_000_000 − 2_500_000                    = 997_500_000

amount_out = y − (x * y) / (x + Δx_net)
           = 2_000_000_000_000
             − (1_000_000_000_000 * 2_000_000_000_000)
               / (1_000_000_000_000 + 997_500_000)
           ≈ 1_995_015_009

new_vault0_raw   = x + amount_in                                        = 1_001_000_000_000
new_vault1       = y − amount_out                                       ≈ 1_998_004_984_991

// Dos 1_000_000_000 recebidos em vault0, 400_000 é "taxa acumulada"
// (protocolo + fundo) que a curva deve excluir:
curve_x          = new_vault0_raw − (protocol_fees_token0 + fund_fees_token0)
                 = 1_001_000_000_000 − 400_000
                 = 1_000_999_600_000

k' = curve_x * new_vault1 ≈ 2.000_002_501_E24  ≥  k = 2.0E24   ✓

Se o mesmo pool tinha enable_creator_fee = true com creator_fee_rate = 1000 (0,10%) no lado da entrada, o programa cobraria total_input_fee = ceil(1_000_000_000 * 3500 / 1_000_000) = 3_500_000, então dividir como creator_fee = 1_000_000 e trade_fee = 2_500_000. A aritmética protocolo/fundo/LP em trade_fee é inalterada do exemplo acima — a taxa de criador é seu próprio bucket, acumulado a creator_fees_token0 e excluído de curve_x junto com os buckets de protocolo e fundo.

Se o mint de entrada tem uma transfer fee de 1% do Token-2022, o vault recebe 990_000_000 tokens em vez de 1_000_000_000, e cada cálculo subsequente usa essa quantidade líquida.

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Regra de atualização de observação

Em cada swap, o programa avalia se deve enviar uma nova observação ao buffer de anel:

let since_last = now − observations[head].block_timestamp;
if since_last >= MIN_OBSERVATION_INTERVAL {
    let price0 = (vault1 << 32) / vault0;            // Q32.32-ish
    let price1 = (vault0 << 32) / vault1;
    let head' = (head + 1) % OBSERVATION_NUM;
    observations[head'] = Observation {
        block_timestamp: now,
        cumulative_token0_price_x32:
            observations[head].cumulative_token0_price_x32 + price0 * since_last,
        cumulative_token1_price_x32:
            observations[head].cumulative_token1_price_x32 + price1 * since_last,
    };
    head = head';
}

Duas propriedades:

• Preço cumulativo, não preço spot. Uma única observação não é um preço. Para obter um TWAP do tempo t0 para t1, leia as observações mais próximas de cada extremidade e calcule (cumulative(t1) − cumulative(t0)) / (t1 − t0).
• As amostras são limitadas em taxa. Swaps consecutivos no mesmo slot podem compartilhar uma observação. Ler uma observação imediatamente após um swap pode parecer desatualizada por um slot — isto é normal.

Mais em products/clmm/accounts.

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Taxas na curva

Esta é a parte sutil e vale a pena destacar. A aritmética da curva funciona contra os saldos líquidos do vault — ou seja, saldo SPL bruto menos taxas de protocolo, fundo e criador acumuladas (as três são buckets independentes — veja products/cpmm/fees). Uma imagem concreta:

raw_vault_balance   = o que um RPC getTokenAccountBalance retorna
accrued_fees        = protocol_fees_token{0,1} + fund_fees_token{0,1} + creator_fees_token{0,1}
curve_balance       = raw_vault_balance − accrued_fees
invariant           = curve_balance0 * curve_balance1

Consequências para integradores:

• Não cotar a partir de saldos brutos. Subtraia os campos de taxa acumulada primeiro, ou chame SwapBaseInput como uma simulação e pegue seu retorno.
• CollectProtocolFee move tokens para fora do vault. Após a coleta, raw_vault_balance cai mas curve_balance permanece inalterado; o preço do pool não se move. Isto é deliberado.

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Precisão e overflow

• Toda aritmética da curva usa intermediários u128 para prevenir overflow em x * y.
• A divisão arredonda para zero exceto no Δx_net de SwapBaseOutput, que arredonda para cima, e na computação de taxas, que arredonda para cima em trade_fee e para baixo nas sub-divisões. Essas direções de arredondamento são escolhidas para que o invariante nunca diminua devido ao truncamento inteiro.
• Pools com rácios de vault extremos (bilhões : 1) podem atingir pisos de precisão em negociações pequenas; o programa retorna ZeroTradingTokens nesse caso. Veja reference/error-codes.

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Por onde continuar

• products/cpmm/fees — a semântica completa de camadas de taxas e coleta.
• products/cpmm/instructions — as instruções que invocam esta matemática.
• algorithms/constant-product — a derivação e casos extremos de x · y = k compartilhados entre AMM v4 e CPMM.

Fontes:

• raydium-io/raydium-cp-swap — matemática de swap em states/curve.rs
• Relatórios de auditoria Raydium vinculados em security/audits