Matematika CPMM

Invariant constant-product, SwapBaseInput vs SwapBaseOutput, penanganan transfer-fee Token-2022, dan cara observation account diperbarui.

Halaman ini diterjemahkan secara otomatis oleh AI. Versi bahasa Inggris adalah acuan resmi.

Lihat versi bahasa Inggris →

​

Invariant

CPMM mempertahankan invariant constant-product klasik pada dua vault-nya:

$$x \cdot y = k$$

di mana x adalah saldo vault0 setelah biaya transfer Token-2022 diterima, dan sama halnya untuk y. Setiap swap harus meninggalkan k' ≥ k setelah memperhitungkan trade fee yang dikreditkan ke LP (bucket protocol, fund, dan creator tidak dihitung menuju k — ada di vault tetapi dikecualikan dari tampilan kurva, lihat Biaya pada kurva di bawah). k oleh karena itu tumbuh secara monoton seiring waktu saat LP mengumpulkan biaya.

Saham LP dihargai menurut cadangan pool, bukan menurut k:

$$\text{LP price in token0} = \frac{x}{\text{lpSupply}}, \qquad \text{LP price in token1} = \frac{y}{\text{lpSupply}}$$

Membakar ΔLP token LP mengembalikan tepat ΔLP × x / lpSupply dari token0 dan ΔLP × y / lpSupply dari token1. Kurva dan k tidak bergerak saat deposit atau penarikan — hanya swap yang mengubah harga.

​

Model biaya pada jalur swap

CPMM menerapkan dua biaya berperingkat independen pada setiap swap:

• Trade fee diambil di sisi input, dikenakan pada AmmConfig.trade_fee_rate. Kemudian dibagi menjadi saham LP, protocol, dan fund (saham LP tetap di vault dan menumbuhkan k; saham protocol dan fund diekstraksi dari akuntansi vault).
• Creator fee (aktif hanya ketika enable_creator_fee == true) dikenakan pada AmmConfig.creator_fee_rate. Diambil di sisi input atau sisi output tergantung pada PoolState.creator_fee_on dan arah swap (lihat products/cpmm/fees). Ini adalah bucket sendiri — tidak pernah potongan dari trade fee.

Misalkan:

• FEE_RATE_DENOMINATOR = 1_000_000
• trade_fee_rate — dari AmmConfig, misalnya 2500 = 0,25% dari volume sisi yang relevan
• creator_fee_rate — dari AmmConfig, misalnya 1000 = 0,10% dari volume sisi yang relevan
• protocol_fee_rate, fund_fee_rate — didenominasikan dalam unit 1/FEE_RATE_DENOMINATOR dari trade fee, bukan dari volume

Ketika creator fee ada di sisi input:

total_input_fee = ceil(amount_in * (trade_fee_rate + creator_fee_rate) / FEE_RATE_DENOMINATOR)
creator_fee     = floor(total_input_fee * creator_fee_rate / (trade_fee_rate + creator_fee_rate))
trade_fee       = total_input_fee - creator_fee
amount_in_after_fees = amount_in - total_input_fee

Ketika creator fee ada di sisi output:

trade_fee            = ceil(amount_in * trade_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_in_after_fees = amount_in - trade_fee
amount_out_curve     = curve_output(amount_in_after_fees, ...)
creator_fee          = ceil(amount_out_curve * creator_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_out           = amount_out_curve - creator_fee

Dalam kedua kasus trade fee dibagi dengan cara yang sama:

protocol_fee   = floor(trade_fee * protocol_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
fund_fee       = floor(trade_fee * fund_fee_rate     / FEE_RATE_DENOMINATOR)
lp_fee         = trade_fee - protocol_fee - fund_fee     // creator_fee adalah NOT dikurangi di sini

Jumlah protocol_fee + fund_fee + creator_fee disimpan di vault tetapi dilacak secara terpisah pada pool state (protocol_fees_token*, fund_fees_token*, creator_fees_token*). Ketika pemeriksaan invariant constant-product memeriksa k' ≥ k, ia menggunakan saldo vault minus ketiga biaya yang terkumpul tetapi belum diswep — sehingga LP hanya menangkap lp_fee.

Lihat products/cpmm/fees untuk instruksi pengumpulan dan contoh numerik yang dikerjakan.

​

SwapBaseInput (input-exact)

“Pengguna memberi kami tepat amount_in dari input mint dan menerima minimal minimum_amount_out dari output mint.”

Mengabaikan Token-2022 sebentar:

amount_in_after_trade_fee = amount_in - trade_fee
amount_out                = y − (x * y) / (x + amount_in_after_trade_fee)

Menurut aljabar:

$$\text{amount\_out} = \frac{y \cdot \Delta x_{\text{net}}}{x + \Delta x_{\text{net}}}$$

di mana Δx_net = amount_in_after_trade_fee.

Program kemudian memperbarui akuntansi vault sehingga porsi trade_fee yang terutang kepada protocol/fund/creator duduk di bucket “accrued” (tidak termasuk dalam x kurva berikutnya), sementara saham LP bergabung dengan x untuk swap berikutnya.

​

Token-2022 di sisi input

Jika input mint memiliki extension transfer-fee, mint mengurangi biayanya pada transfer dari user → vault. Jadi vault benar-benar menerima amount_in − transfer_fee_in(amount_in). Program CPMM oleh karena itu menghitung:

amount_actually_received = amount_in − transfer_fee_in(amount_in)
trade_fee                = ceil(amount_actually_received * trade_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_in_after_trade_fee = amount_actually_received − trade_fee

dan menjalankan kurva terhadap amount_in_after_trade_fee. Ini penting karena harga kurva dihitung dari jumlah bersih yang mendarat di vault, bukan dari jumlah judul pengguna.

​

Token-2022 di sisi output

Jika output mint memiliki transfer fee, pool mengirim amount_out dari vault-nya ke pengguna. Mint kemudian akan mengambil biayanya dalam perjalanan keluar, sehingga pengguna menerima amount_out − transfer_fee_out(amount_out). Program menghitung amount_out dari kurva seperti biasa, tetapi adalah tanggung jawab integrator untuk mengonversi angka “vault send” pool menjadi angka “user receive” saat menampilkan penawaran.

​

Pemeriksaan slippage

Setelah menghitung amount_out:

require(amount_out >= minimum_amount_out, "AmountSpecifiedLessThanMinimum")

Jika output mint mengenakan transfer fee, SDK menerapkan transfer fee sebelum menetapkan minimum_amount_out sehingga konstanta slippage didenominasikan dalam apa yang benar-benar akan diterima pengguna, bukan dalam apa yang vault kirim.

​

SwapBaseOutput (output-exact)

“Pengguna akan menerima tepat amount_out dari output mint dan bersedia membayar hingga maximum_amount_in dari input mint.”

Membalik kurva untuk Δx_net:

$$\Delta x_{\text{net}} = \left\lceil \frac{x \cdot \text{amount\_out}}{y - \text{amount\_out}} \right\rceil$$

Ceiling penting — ia menjamin k' ≥ k setelah pemotongan integer. Kemudian:

// Bekerja mundur dari net in ke gross in.
// fee diterapkan pada gross, jadi:
//   net = gross − ceil(gross * rate / D)
//       ≈ gross * (D − rate) / D
// inverting dengan ceiling di tempat yang tepat:
gross_needed = ceil(Δx_net * D / (D − trade_fee_rate))

Pada Token-2022 input, bungkus dengan:

gross_needed_before_mint_fee
  = inflate_for_transfer_fee(gross_needed, input_mint)

sehingga pengguna membayar cukup sehingga setelah pengurangan transfer-fee mint pool masih menerima gross_needed.

​

Pemeriksaan slippage

require(gross_needed_before_mint_fee <= maximum_amount_in, "AmountSpecifiedExceedsMaximum")

​

Contoh yang dikerjakan

Pool state, mengabaikan Token-2022:

• x = 1_000_000_000_000 (1.000.000,000000 dari token0, 6 desimal)
• y = 2_000_000_000_000 (2.000.000,000000 dari token1, 6 desimal)
• AmmConfig: trade_fee_rate = 2500, protocol_fee_rate = 120_000, fund_fee_rate = 40_000, creator_fee_rate = 0

Pengguna: SwapBaseInput dengan amount_in = 1_000_000_000 (1.000,000000 dari token0). Creator fee dinonaktifkan (enable_creator_fee = false).

trade_fee                = ceil(1_000_000_000 * 2500 / 1_000_000)       = 2_500_000
  protocol_fee           = floor(2_500_000 * 120_000 / 1_000_000)       = 300_000
  fund_fee               = floor(2_500_000 *  40_000 / 1_000_000)       = 100_000
  lp_fee                 = 2_500_000 − 300_000 − 100_000                 = 2_100_000
creator_fee              = 0                                              // dinonaktifkan

amount_in_after_trade_fee = 1_000_000_000 − 2_500_000                    = 997_500_000

amount_out = y − (x * y) / (x + Δx_net)
           = 2_000_000_000_000
             − (1_000_000_000_000 * 2_000_000_000_000)
               / (1_000_000_000_000 + 997_500_000)
           ≈ 1_995_015_009

new_vault0_raw   = x + amount_in                                        = 1_001_000_000_000
new_vault1       = y − amount_out                                       ≈ 1_998_004_984_991

// Dari 1_000_000_000 yang diterima di vault0, 400_000 adalah "accrued fee"
// (protocol + fund) yang kurva harus kecualikan:
curve_x          = new_vault0_raw − (protocol_fees_token0 + fund_fees_token0)
                 = 1_001_000_000_000 − 400_000
                 = 1_000_999_600_000

k' = curve_x * new_vault1 ≈ 2.000_002_501_E24  ≥  k = 2.0E24   ✓

Jika pool yang sama memiliki enable_creator_fee = true dengan creator_fee_rate = 1000 (0,10%) di sisi input, program akan mengenakan total_input_fee = ceil(1_000_000_000 * 3500 / 1_000_000) = 3_500_000, kemudian membaginya sebagai creator_fee = 1_000_000 dan trade_fee = 2_500_000. Aritmetika protocol/fund/LP pada trade_fee tidak berubah dari contoh di atas — creator fee adalah bucket sendiri, terkumpul ke creator_fees_token0 dan dikecualikan dari curve_x bersama dengan bucket protocol dan fund.

Jika input mint memiliki transfer fee Token-2022 1%, vault menerima 990_000_000 token alih-alih 1_000_000_000, dan setiap perhitungan berikutnya menggunakan jumlah bersih tersebut.

​

Aturan pembaruan observation

Pada setiap swap, program mengevaluasi apakah akan mendorong observation baru ke ring buffer:

let since_last = now − observations[head].block_timestamp;
if since_last >= MIN_OBSERVATION_INTERVAL {
    let price0 = (vault1 << 32) / vault0;            // Q32.32-ish
    let price1 = (vault0 << 32) / vault1;
    let head' = (head + 1) % OBSERVATION_NUM;
    observations[head'] = Observation {
        block_timestamp: now,
        cumulative_token0_price_x32:
            observations[head].cumulative_token0_price_x32 + price0 * since_last,
        cumulative_token1_price_x32:
            observations[head].cumulative_token1_price_x32 + price1 * since_last,
    };
    head = head';
}

Dua properti:

• Harga kumulatif, bukan harga spot. Satu observation bukan harga. Untuk mendapatkan TWAP dari waktu t0 ke t1, baca observation terdekat dengan setiap ujung dan hitung (cumulative(t1) − cumulative(t0)) / (t1 − t0).
• Sampel dibatasi kecepatan. Swap back-to-back di slot yang sama dapat berbagi satu observation. Membaca observation segera setelah swap oleh karena itu dapat terlihat usang satu slot — ini normal.

Lebih lanjut di products/clmm/accounts.

​

Biaya pada kurva

Ini adalah bagian yang halus dan layak diperingatkan. Aritmetika kurva bekerja terhadap saldo vault bersih — yaitu, saldo SPL mentah dikurangi biaya protocol, fund, dan creator yang terkumpul (ketiga-tiganya adalah bucket independen — lihat products/cpmm/fees). Gambaran konkret:

raw_vault_balance   = apa yang dikembalikan RPC getTokenAccountBalance
accrued_fees        = protocol_fees_token{0,1} + fund_fees_token{0,1} + creator_fees_token{0,1}
curve_balance       = raw_vault_balance − accrued_fees
invariant           = curve_balance0 * curve_balance1

Konsekuensi untuk integrator:

• Jangan quote dari saldo mentah. Kurangi bidang accrued-fee terlebih dahulu, atau panggil SwapBaseInput sebagai simulasi dan ambil hasilnya.
• CollectProtocolFee memindahkan token keluar dari vault. Setelah pengumpulan, raw_vault_balance turun tetapi curve_balance tidak berubah; harga pool tidak bergerak. Ini disengaja.

​

Presisi dan overflow

• Semua aritmetika kurva menggunakan intermediate u128 untuk mencegah overflow pada x * y.
• Divisi dibulatkan menuju nol kecuali untuk Δx_net milik SwapBaseOutput, yang dibulatkan ke atas, dan komputasi fee, yang dibulatkan ke atas pada trade_fee dan ke bawah pada sub-split. Arah pembulatan ini dipilih sehingga invariant tidak pernah berkurang karena pemotongan integer.
• Pool dengan rasio vault ekstrem (miliaran : 1) dapat mengalami lantai presisi pada perdagangan kecil; program mengembalikan ZeroTradingTokens dalam hal itu. Lihat reference/error-codes.

​

Ke mana selanjutnya

• products/cpmm/fees — semantik tier dan pengumpulan fee lengkap.
• products/cpmm/instructions — instruksi yang menjalankan matematika ini.
• algorithms/constant-product — derivasi dan edge case dari x · y = k yang dibagikan di seluruh AMM v4 dan CPMM.

Sumber:

• raydium-io/raydium-cp-swap — swap math dalam states/curve.rs
• Laporan audit Raydium tertaut dalam security/audits