رياضيات CPMM

متغيّر الناتج الثابت، SwapBaseInput مقابل SwapBaseOutput، معالجة رسوم نقل Token-2022، وكيفية تحديث حساب الملاحظات.

هذه الصفحة مُترجَمة آليًا بواسطة الذكاء الاصطناعي. النسخة الإنجليزية هي المرجع المعتمد.

عرض النسخة الإنجليزية →

​

المتغيّر الثابت

يحافظ CPMM على متغيّر الناتج الثابت الكلاسيكي على خزانتيه:

$$x \cdot y = k$$

حيث x هو رصيد vault0 بعد أي رسوم نقل Token-2022 عند الاستقبال، وبالمثل لـ y. يجب أن تترك كل مبادلة k' ≥ k بعد احتساب رسوم التداول المُعترف بها للـ LP (بحيث لا تُحتسب دلاء البروتوكول والصندوق والمنشئ نحو k — فهي تجلس في الخزان لكن تُستثنى من عرض المنحنى، انظر الرسوم على المنحنى أدناه). لذلك k ينمو بشكل مطرد بمرور الوقت مع تراكم الرسوم لـ LPs.

يتم تسعير حصص LP من خلال احتياطيات المجموعة، وليس من خلال k:

$$\text{سعر LP في token0} = \frac{x}{\text{lpSupply}}, \qquad \text{سعر LP في token1} = \frac{y}{\text{lpSupply}}$$

حرق ΔLP من رموز LP يرجع بالضبط ΔLP × x / lpSupply من token0 و ΔLP × y / lpSupply من token1. لا المنحنى ولا k يتحرك عند الإيداع أو السحب — فقط المبادلات تغيّر السعر.

​

نموذج الرسوم على مسار المبادلة

يطبق CPMM رسومًا مستقلة بمعدلات منفصلة على كل مبادلة:

• رسم التداول يُؤخذ من جانب الإدخال، مُحتسبًا عند AmmConfig.trade_fee_rate. ثم يتم تقسيمه إلى حصص LP والبروتوكول والصندوق (تبقى حصة LP في الخزان وتنمو k؛ حصص البروتوكول والصندوق تُستخرج من محاسبة الخزان).
• رسم المنشئ (نشط فقط عندما يكون enable_creator_fee == true) يُحتسب عند AmmConfig.creator_fee_rate. يُؤخذ من جانب الإدخال أو جانب الإخراج بناءً على PoolState.creator_fee_on واتجاه المبادلة (انظر products/cpmm/fees). إنه دلو خاص به — ليس أبدًا جزءًا من رسم التداول.

دع:

• FEE_RATE_DENOMINATOR = 1_000_000
• trade_fee_rate — من AmmConfig، مثلاً 2500 = 0.25% من الحجم ذي الصلة
• creator_fee_rate — من AmmConfig، مثلاً 1000 = 0.10% من الحجم ذي الصلة
• protocol_fee_rate, fund_fee_rate — مقسومة بوحدات 1/FEE_RATE_DENOMINATOR من رسم التداول، وليس من الحجم

عندما يكون رسم المنشئ على جانب الإدخال:

total_input_fee = ceil(amount_in * (trade_fee_rate + creator_fee_rate) / FEE_RATE_DENOMINATOR)
creator_fee     = floor(total_input_fee * creator_fee_rate / (trade_fee_rate + creator_fee_rate))
trade_fee       = total_input_fee - creator_fee
amount_in_after_fees = amount_in - total_input_fee

عندما يكون رسم المنشئ على جانب الإخراج:

trade_fee            = ceil(amount_in * trade_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_in_after_fees = amount_in - trade_fee
amount_out_curve     = curve_output(amount_in_after_fees, ...)
creator_fee          = ceil(amount_out_curve * creator_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_out           = amount_out_curve - creator_fee

في كلا الحالتين يتم تقسيم رسم التداول بنفس الطريقة:

protocol_fee   = floor(trade_fee * protocol_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
fund_fee       = floor(trade_fee * fund_fee_rate     / FEE_RATE_DENOMINATOR)
lp_fee         = trade_fee - protocol_fee - fund_fee     // creator_fee لا يُطرح هنا

يُحتفظ بمبلغ protocol_fee + fund_fee + creator_fee في الخزانات لكن يُتتبع بشكل منفصل في حالة المجموعة (protocol_fees_token*, fund_fees_token*, creator_fees_token*). عندما تتحقق فحوصات متغيّر الناتج الثابت من k' ≥ k، تستخدم أرصدة الخزان ناقصًا جميع الرسوم الثلاثة المتراكمة وغير المجمّعة — لذا يجني LPs فقط lp_fee.

انظر products/cpmm/fees لتعليمات الجمع والأمثلة الرقمية المفصلة.

​

SwapBaseInput (إدخال دقيق)

“المستخدم يعطينا بالضبط amount_in من mint الإدخال ويتلقى على الأقل minimum_amount_out من mint الإخراج.”

تجاهل Token-2022 للحظة:

amount_in_after_trade_fee = amount_in - trade_fee
amount_out                = y − (x * y) / (x + amount_in_after_trade_fee)

بالجبر:

$$\text{amount\_out} = \frac{y \cdot \Delta x_{\text{net}}}{x + \Delta x_{\text{net}}}$$

حيث Δx_net = amount_in_after_trade_fee.

يُحدّث البرنامج بعد ذلك محاسبة الخزان بحيث تجلس الحصة من trade_fee المستحقة للبروتوكول والصندوق والمنشئ في دلاء “متراكمة” (لم تُضمّن في منحنى x التالي)، بينما تنضم حصة LP إلى x للمبادلة التالية.

​

Token-2022 على جانب الإدخال

إذا كان mint الإدخال يحتوي على امتداد رسم النقل، فإن mint يخصم رسمه عند النقل من المستخدم → الخزان. لذا يتلقى الخزان فعليًا amount_in − transfer_fee_in(amount_in). يحسب برنامج CPMM بالتالي:

amount_actually_received = amount_in − transfer_fee_in(amount_in)
trade_fee                = ceil(amount_actually_received * trade_fee_rate / FEE_RATE_DENOMINATOR)
amount_in_after_trade_fee = amount_actually_received − trade_fee

ويشغّل المنحنى مقابل amount_in_after_trade_fee. هذا مهم لأن سعر المنحنى يُحسب من صافي المبلغ الذي وصل إلى الخزان، وليس من مبلغ المستخدم الإجمالي.

​

Token-2022 على جانب الإخراج

إذا كان mint الإخراج يفرض رسم نقل، فإن المجموعة ترسل amount_out من خزانها للمستخدم. mint سيقتطع رسمه على الطريق، لذا يتلقى المستخدم amount_out − transfer_fee_out(amount_out). يحسب البرنامج amount_out من المنحنى كالمعتاد، لكن من مسؤولية المُدمج تحويل رقم “إرسال الخزان” الخاص بالمجموعة إلى رقم “استقبال المستخدم” عند عرض العروض الأسعار.

​

فحص الانزلاق

بعد حساب amount_out:

require(amount_out >= minimum_amount_out, "AmountSpecifiedLessThanMinimum")

إذا كان mint الإخراج يفرض رسم نقل، فإن SDK يطبق رسم النقل قبل تعيين minimum_amount_out بحيث يكون ثابت الانزلاق مقسومًا بما سيستقبله المستخدم فعليًا، وليس بما يرسله الخزان.

​

SwapBaseOutput (إخراج دقيق)

“المستخدم سيتلقى بالضبط amount_out من mint الإخراج وعلى استعداد للدفع بما يصل إلى maximum_amount_in من mint الإدخال.”

قلب المنحنى للحصول على Δx_net:

$$\Delta x_{\text{net}} = \left\lceil \frac{x \cdot \text{amount\_out}}{y - \text{amount\_out}} \right\rceil$$

السقف مهم — فهو يضمن k' ≥ k بعد الاقتطاع الصحيح. ثم:

// العمل بشكل عكسي من صافي الإدخال إلى إجمالي الإدخال.
// يتم تطبيق الرسم على الإجمالي، لذلك:
//   net = gross − ceil(gross * rate / D)
//       ≈ gross * (D − rate) / D
// قلب مع السقف في الأماكن الصحيحة:
gross_needed = ceil(Δx_net * D / (D − trade_fee_rate))

على Token-2022 من جهة الإدخال، اغلفها بـ:

gross_needed_before_mint_fee
  = inflate_for_transfer_fee(gross_needed, input_mint)

بحيث يدفع المستخدم ما يكفي بحيث بعد خصم رسم النقل الخاص بـ mint يستقبل الخزان gross_needed.

​

فحص الانزلاق

require(gross_needed_before_mint_fee <= maximum_amount_in, "AmountSpecifiedExceedsMaximum")

​

مثال عملي

حالة المجموعة، تجاهل Token-2022:

• x = 1_000_000_000_000 (1,000,000.000000 من token0، 6 كسور عشرية)
• y = 2_000_000_000_000 (2,000,000.000000 من token1، 6 كسور عشرية)
• AmmConfig: trade_fee_rate = 2500, protocol_fee_rate = 120_000, fund_fee_rate = 40_000, creator_fee_rate = 0

المستخدم: SwapBaseInput مع amount_in = 1_000_000_000 (1,000.000000 من token0). رسم المنشئ معطّل (enable_creator_fee = false).

trade_fee                = ceil(1_000_000_000 * 2500 / 1_000_000)       = 2_500_000
  protocol_fee           = floor(2_500_000 * 120_000 / 1_000_000)       = 300_000
  fund_fee               = floor(2_500_000 *  40_000 / 1_000_000)       = 100_000
  lp_fee                 = 2_500_000 − 300_000 − 100_000                 = 2_100_000
creator_fee              = 0                                              // معطّل

amount_in_after_trade_fee = 1_000_000_000 − 2_500_000                    = 997_500_000

amount_out = y − (x * y) / (x + Δx_net)
           = 2_000_000_000_000
             − (1_000_000_000_000 * 2_000_000_000_000)
               / (1_000_000_000_000 + 997_500_000)
           ≈ 1_995_015_009

new_vault0_raw   = x + amount_in                                        = 1_001_000_000_000
new_vault1       = y − amount_out                                       ≈ 1_998_004_984_991

// من الـ 1_000_000_000 المستقبل في vault0، 400_000 هو "رسم متراكم"
// (بروتوكول + صندوق) يجب على المنحنى استثناؤه:
curve_x          = new_vault0_raw − (protocol_fees_token0 + fund_fees_token0)
                 = 1_001_000_000_000 − 400_000
                 = 1_000_999_600_000

k' = curve_x * new_vault1 ≈ 2.000_002_501_E24  ≥  k = 2.0E24   ✓

إذا كانت نفس المجموعة لديها enable_creator_fee = true مع creator_fee_rate = 1000 (0.10%) على جانب الإدخال، فإن البرنامج سيفرض total_input_fee = ceil(1_000_000_000 * 3500 / 1_000_000) = 3_500_000، ثم يقسمها إلى creator_fee = 1_000_000 و trade_fee = 2_500_000. حساب البروتوكول والصندوق والـ LP على trade_fee لم يتغير عن المثال أعلاه — رسم المنشئ هو دلو خاص به، متراكم إلى creator_fees_token0 واستُثني من curve_x جنبًا إلى جنب مع دلاء البروتوكول والصندوق.

إذا كان mint الإدخال يحتوي على رسم نقل 1% من Token-2022، فإن الخزان يستقبل 990_000_000 رموز بدلاً من 1_000_000_000، وكل عملية حساب لاحقة تستخدم هذا المبلغ الصافي.

​

قاعدة تحديث الملاحظة

على كل مبادلة، يقيّم البرنامج ما إذا كان يجب دفع ملاحظة جديدة في مخزن مؤقت الحلقة:

let since_last = now − observations[head].block_timestamp;
if since_last >= MIN_OBSERVATION_INTERVAL {
    let price0 = (vault1 << 32) / vault0;            // Q32.32-ish
    let price1 = (vault0 << 32) / vault1;
    let head' = (head + 1) % OBSERVATION_NUM;
    observations[head'] = Observation {
        block_timestamp: now,
        cumulative_token0_price_x32:
            observations[head].cumulative_token0_price_x32 + price0 * since_last,
        cumulative_token1_price_x32:
            observations[head].cumulative_token1_price_x32 + price1 * since_last,
    };
    head = head';
}

خاصيتان:

• السعر التراكمي، وليس السعر الفوري. ملاحظة واحدة ليست سعرًا. للحصول على TWAP من الوقت t0 إلى t1، اقرأ الملاحظات الأقرب إلى كل نهاية واحسب (cumulative(t1) − cumulative(t0)) / (t1 − t0).
• العينات محدودة المعدل. قد تشارك المبادلات المتتالية في نفس الفتحة ملاحظة واحدة. قراءة ملاحظة فورًا بعد مبادلة يمكن بالتالي أن تبدو قديمة بفتحة واحدة — هذا أمر طبيعي.

المزيد في products/clmm/accounts.

​

الرسوم على المنحنى

هذا هو الجزء الدقيق ويستحق الإشارة إليه. يعمل حساب المنحنى مقابل أرصدة الخزان الصافية — أي رصيد SPL الخام ناقصًا رسوم البروتوكول والصندوق والمنشئ المتراكمة (جميعها ثلاثة دلاء مستقلة — انظر products/cpmm/fees). صورة ملموسة:

raw_vault_balance   = ما يعيده getTokenAccountBalance من RPC
accrued_fees        = protocol_fees_token{0,1} + fund_fees_token{0,1} + creator_fees_token{0,1}
curve_balance       = raw_vault_balance − accrued_fees
invariant           = curve_balance0 * curve_balance1

العواقب للمُدمجين:

• لا تقتبس من الأرصدة الخام. اطرح حقول الرسوم المتراكمة أولاً، أو استدعِ SwapBaseInput كمحاكاة وخذ عودتها.
• CollectProtocolFee ينقل الرموز خارج الخزان. بعد الجمع، ينخفض raw_vault_balance لكن curve_balance لم يتغير؛ سعر المجموعة لا يتحرك. هذا متعمد.

​

الدقة والفيض

• جميع عمليات حساب المنحنى تستخدم وسطاء u128 لمنع الفيض عند x * y.
• القسمة تقريب نحو الصفر باستثناء SwapBaseOutput الخاص بـ Δx_net، الذي يقرب لأعلى، وحساب الرسم، الذي يقرب لأعلى على trade_fee ولأسفل على الانقسامات الفرعية. يتم اختيار اتجاهات التقريب هذه بحيث لا ينخفض المتغيّر أبدًا بسبب الاقتطاع الصحيح.
• قد تضرب المجموعات ذات نسب الخزان المتطرفة (مليارات : 1) أرضيات دقة على التداولات الصغيرة؛ يعود البرنامج ZeroTradingTokens في تلك الحالة. انظر reference/error-codes.

​

ماذا بعد

• products/cpmm/fees — دلالات طبقات الرسوم الكاملة والجمع.
• products/cpmm/instructions — التعليمات التي تستدعي هذه الرياضيات.
• algorithms/constant-product — الاشتقاق وحالات الحواف الخاصة بـ x · y = k المشتركة عبر AMM v4 و CPMM.

المصادر:

• raydium-io/raydium-cp-swap — رياضيات المبادلة في states/curve.rs
• تقارير تدقيق Raydium المرتبطة في security/audits